游戏装备强化类问题的数学期望

装备强化问题，装备初始强化等级为零级，每级强化成功率为百分之五十，失败则回到零级，请问强化到3级所需强化次数的期望为多少？

这类强化装备的系统在很多游戏中都有出现，例如DNF，FIFAOL3等无情骗钱网游当中。装备根据系统给定的概率分布，从一个状态转向另一个状态，或者保持原样并且该过程通常保持'无记忆性“,所以是一个马尔可夫过程。

我们用两种思路去求他的数学期望，假设每一级强化成功的概率为P：

第一种：假设T0是从零级开始强化到三级的期望，T1是从1级开始强化到3级的期望，T2是从2级开始强化到3级的期望。对于每一个可能性来说，T=成功的期望加上失败时的期望

那么T2=P*1+（1-P）（1+T0），当你强化成功时，只需要一次就能上所以是P*1，当你失败时，发生的概率是（1-P),需要的次数是一次失败加上从零强化到3的次数也就是T0

那么T1=P（1+T2）+（1-P）（1+T0），当你强化成功时，就变成了T2，所以成功时需要的次数为（1+T2），失败时，又要从T0搞上来了

以此类推，T0=P（1+T1）+（1-P）（1+T0），三个未知数，三个方程式可以求得T0

第二种：从零强化到三级可以看作:0到1，1到2，2到3的期望相加。

设E1为从0强化到1的期望，E2为从1强化到2的期望，E3为从2强化到3的期望，辣么同上，期望为成功加失败。那么从零强化到3的期望为E1+E2+E3

E3=P*1+（1-P）*（1+E1+E2+E3)

E2=P*1+（1-P）*（1+E1+E2)

E1=1/P

 可以注意到E2的式子能带入E3中，也以此类推能算出E（N+1）=[E（N)] / P=E(1) /（p^n)

那么S（N）=E1+E2+E3+.....+E(N)=2^(n+1)-2

求出来两种方法都为14.

用计算机模拟结果，语言为PYTHON，

import random

total =0

T=60000

for i in range(T):

    a,b=0,0

    while a !=3:

        num=random.randint(0,1)

        if num ==1:

            a=a+1

            b=b+1

        if num ==0:

            a=0

            b=b+1

    total=total +b

print(total/T)

模拟出来的结果也约为14，说明强化是多么的坑爹。举个例子，如果你想和舍友连胜3把刀2就睡觉，平均来说，你要打14把。