这两种游戏是有很大区别的。事实上，你在玩德式和美式游戏的时候，你会在不同的地方享受到乐趣。
德式桌游，也称为Eurogame。德式桌游最大的特点是有非常强的策略性。通常会有以下特点[2][4]：
- 玩家们的冲突不是直接冲突（比如两个玩家进行combat），玩家们的矛盾总是在竞争资源、或者分数。combat是非常少见的。
- 玩家们总是能参与到游戏最后。
- 不太有运气和随机元素。投骰子的德式游戏非常罕见，不过也有投骰子的德式游戏。
- 德式桌游更注重游戏机制。德式桌游当然也有场景，但是这个场景通常和游戏的游玩方式本身无关。
有名的德式游戏：1995年的Catan卡坦岛、我个人非常喜爱的Caverna: The Cave Farmers(2013)
美式桌游，也称为Ameritrash。美式桌游最大的特点在于运气和随机性。美式游戏有以下特点[5]：
- 有非常详细的主题和背景设定。
- 有玩家-玩家的直接冲突。
- 不同的英雄、角色和团体有不同的特殊技能。
- 运气成分非常高。
游戏的核心机制在于投骰子的游戏几乎一定是美式游戏。投骰子游戏有非常多，最最最出名的莫过于1956年的家庭游戏Yahtzee。无数的投骰子游戏都是从Yahtzee衍生的。比如怪兽占领东京的《东京之王King of Tokyo》(2011), 西部牛仔射击游戏《BANG!》(2002)，还有许多丧尸题材的投骰子游戏。
我认为这些美式游戏的游戏性除了随机性，还在于角色扮演，因为你几乎不用体验什么就带入了某个场景，气氛轻松和朋友互动。
总结一下，德式桌游更注重策略、游戏机制、平衡性更好。美式游戏更注重运气和随机性。
另外，@zafara 的回答中提到的“战棋类游戏”不是德式也不是美式。实际上，Wargame是独立于德式游戏和美式游戏的一种游戏类型[2][5]。当然，很多游戏是会有战棋要素，但是这跟游戏分类一样：有些游戏是明显的RPG游戏，有些游戏是明显的ACT游戏，有些游戏则包含了各个游戏元素。
参考文献Reference:
[1] 美式桌游的Wikipedia页面。https://en.wikipedia.org/wiki/American-style_board_game
[2] 德式桌游的Wikipedia页面。https://en.wikipedia.org/wiki/Eurogame
[3] An affinity for rules? 《经济学人》的一篇文章。https://www.economist.com/europe/2008/08/28/an-affinity-for-rules
[4] BGG的wiki页面：什么是德式桌游。https://boardgamegeek.com/wiki/page/Eurogame
[5] BGG的wiki页面：什么是美式桌游。https://boardgamegeek.com/wiki/page/Ameritrash