简介

在van der Waerden的《古代文明中的几何与代数》有这样一个故事，大意是：爱琴海的居民渴望上帝阿波罗神将他们从灾难中解救出来，上帝告诉他们，原先立方体的祭坛太小了，要重新建造一个新祭坛，长宽高比例不变，但体积是原来的两倍。

爱琴海的居民能获得解救吗？也就是说，假设我们已经知道了一个单位长的线段为多长，我们能作出2^1/3个单位的长度吗？

尽管现在，依靠计算机很快就能作出来，但在古代，这类作图的事还真不容易。这种问题就叫欧氏作图。

于是就想到，如果让玩家也依靠有限的工具，例如只有一把直尺和一个圆规，能作出怎样的长度的线段，或是怎样的图形呢？这就是这篇文章所构想的游戏。

他山之石

这类作图问题其实也有不小的受众。比较好玩的Euclidea系列的作图游戏，就是要求你依靠有限的工具，规定作出各种各样的图形，简单的有垂直平分线，作出60度的角，难点的也有作出菱形，等分梯形。总之好评如潮。

但是Euclidea有些关卡太简单，而且关卡都是围绕着构造图形而展开，这儿还有很大的改良空间。于是，我们的游戏，让玩家在只有直尺和圆规的情况下，作出特定长度的线段的游戏，就可以开始构想啦！

第一章节：定义与坐标系

为了防止歧义和增大难度，我们得先规定直尺和圆规到底是什么。

• 直尺没有刻度，不能滑动，是能画出一条线段的工具。
• 圆规是能画出一个以o为圆心，r 为半径的圆的工具。

对于两点 A和B 来说，我们定义 |AB | 为它们的距离。

首先，没坐标系怎么能画图呢？于是第一的章节，就是让玩家只靠直尺和圆规作出坐标系，并且规定单位距离的长度。

作为游戏设计者，肯定也要比玩家想得多。坐标系的具体作法并不困难。

在纸上找两点A和B，这两点所确定的直线就是x-轴。用圆规以 A为圆心，|AB |为半径画一个圆，然后以B为圆心，|AB |为半径画一个圆 。两个圆相交于C和D两点， 这两点所确定的直线就是y-轴。线段 AB 和线段CD相交于O点，这点就是坐标系的原点。然后定义|OA|的长度1，O的坐标为(0,0)。

第二章节：加，乘，倒数和根号

第二章开始就要依靠玩家自己了。玩家已经定义了1是多长，之后的关卡将给出特定的数字让玩家作出来。

加

如果我们能作出长度为a的线段，和长为b的线段， 很自然，把它们拼接在一起就得到了长度为a+b的线段。

乘

如果我们能画出长度为 a 的线段和长为 b 的线段， 怎么画出长度 ab 的线段呢？

令A = (1,0)，B = (1+a,0)，C = (0,b)，作DB平行于CA且于y-轴交于点D。

ΔOAC和 ΔOBD是相似三角形，所以

|OB| / |OA| = |OD| / |OC|

即(a+1)/1 = (b+|CD|)/b，所以|CD| = ab，所以我们能作出长为ab的的线段。

根号

怎样作出长度为3^1/2的线段？

由于|OA| 长度为1，|AC| = |AB| = 2，那么|OC| = 3^1/2，所以C的坐标(0, 3^1/2)，那么我们就能画出长为 3^1/2的线段。

既然能画出长度为 3^1/2 的线段，那么如果让 a是任意一个非负数，我们能不能画出长度 a^1/2的线段呢？这对玩家来说就开始有点小难了。

想清楚原理后也容易作出来。我们设A = (1,0)，P = (1+a,0)。作OP中点Q，以|OQ|为半径画一个上半圆，然后作AR垂直于OP，AR与圆交于R。

ΔAOR和 ΔARP是相似三角形，所以

|OA|/|AR| = |AR| /|AP|，即|AR| = a^1/2

倒数

另外，只要a不等于0，也能作出为它的倒数的长度a^-1的线段。

令A = (1,0)，S = (0,a)，T = (0,1+a)。作TB平行于SA并于直线OA相交于点B。

ΔOSA和 ΔATB是相似三角形，所以

|OT|/|OS| = |OB| /|OA|，即|AB| = a^-1

第三章节：无穷的数字

怎么，还是太简单？那试着用尽量少的辅助线作出下面长度的线段吧！

这种长度的线段，虽然掌握方法后也非常简单，但第一次看到确实令人吓一跳。

诶，那么问题又来了，为什么能确保上图这样奇怪长度的线段可以作出来呢？或者说，究竟哪些长度的线段可以作出来呢？

实际上，所有形如下面样子的数

以及将它们相加相乘后得到的数，都是可以作出相应长度的线段的。而且。我们也只能作出形如这样长度的线段。

简略证明一下。假设所有这样的数都在集合K里面。当然，我们一开始定义的单位距离1也在集合K里面。

要得到一个新的线段，只能由两个交点的距离计算出。而交点在本游戏里不外乎三种情况：直线与直线交点，圆与直线交点，圆圆交点。而我们定量作直线和作圆时，所用到的参数，包括斜率，圆心坐标和半径等都属于集合K，所以交点的坐标必定也属于集合K，所以任意两个交点间的距离也一定属于集合K。

详细一些，不严谨但比较好懂的证法可以看看我的文章。严谨的证法可以参见Joseph J.Rotman著《抽象代数基础教程》。

这样，文章开头提到的爱琴海的居民就很尴尬了。而且有了这个知识，我们就可以尽情折磨那些“没文化”的玩家了，hia~hia~。

第四章节：多元选择

既然已经让玩家知道所有可以精确作出的数字的规律了，那么开始让玩家试试其它的玩法吧？

无限逼近

让玩家尝试作出无限接近于∏²/2长度的线段，误差不能小于某个值。

这个关卡的解其实是下面这个。一个比较好玩的证法可参见3blue1brown的视频。

直尺的新定义

如果继续让玩家用这把没刻度也不能滑动的的破尺子太难受了。这样他们连三等分60度角都做不到。

但如果稍微改变直尺的定义，就能让玩家去三等分任意角了。嗯，又有事可干了。

改变直尺的定义，让它可以标记U和V两点，且点U允许在一个圆上滑动。这样就能三等分任意角了。

先证明可以任意三等分一个锐角。对于一个角α = ∠AOE，令O为圆心，画出一个半径为1的圆。过点O和点E作一条直径并延长，交圆另一端为F。用直尺做一条平行于EF并通过A的弦，弦与圆的另一个交点为U，且延长弦AU到V，并使|UV| = 1。

固定直尺的A点，旋转U点使U在圆上移动，并保持|UV| = 1，当直线AV与直线EF有交点时停下，重新把点U标记为B，把交点标记为C。

ΔOAB和 ΔOBC 是等腰三角形，所以δ = ε， ε = γ + β = 2β 。

又α = δ + β，所以 α = 2β + β = 3 β。由此成功三等分了角 α 。

标志

例如让玩家靠直尺和圆规画出下面这个标志。

最终章：正十七边形

所有玩家必须只靠一把直尺和圆规，追寻高斯老爷子的脚步，作出正十七边形后才能算通关。

你甚至可以在关卡正式开始之前让玩家看一段教程

然后放个表情包：

事实上，形如

，其中t为自然数的奇素数，叫做费马素数。如果p满足上面的条件，就说明可以作出正p边形。

不过，正十七边形之前是正五边形，有点简单，正十七边形之后是正257边形和65537边形，显然不是人能作出来的。于是我们的游戏也就结束啦。

结语

关于欧氏作图的有趣问题还要很多，设计者可尽情构建自己的关卡，和玩家斗志斗勇。下次要不要弄个让玩家在3维空间作图的游戏呢？