【研机析理】改进卡牌游戏卡组设计提升趣味性

简介

这是文章是参考文献[1]的主要内容。

我们的游戏玩家简直是一群刁民，张三觉得这样好玩，李四觉得那样才刺激，隔壁老王又认为他们说得都不对…总之，不同玩家对“有趣”的定义不同。我们没法同时满足不同要求，但在这篇文章里，我们会借助一款卡牌游戏，尝试找出尽量满足某一类玩家要求的游戏机制和规则，让这类玩家感到有趣好玩。

Dominion

这是一款在2008年发行的超好玩的桌面卡牌游戏，据说发售当日就卖光了。现在已有授权的线上版。剧情很简单：先帝不知是出了车祸还是失忆了还是发现皇后是自己亲妹妹，总之是将皇位传给了你。而你要带领你的国家争取更多的土地，同时也要防止对手的**。

在线版

作为桌游，规则也不复杂。这个游戏一共有三种卡，分别是资源卡，行动卡，领土卡。

每己方回合从初始牌组抽五张牌。每个己方回合包括一次行动阶段和购买阶段。在行动阶段可以使用行动卡，发挥它的特殊效果。行动阶段后是购买阶段，可以使用货币卡购买桌面上预先放好的卡，包括行动卡组（中间两行共10种，每次游戏的可以选择不同的行动卡牌组），货币卡组（左侧固定3种）和领土卡组（左侧固定4种），购入后不能使用，而是放入“弃牌堆”。己方回合结束后，所有用过没用过的牌都放入“弃牌堆”。当牌组抽完后，将“弃牌堆”作为新牌组使用。

领土卡面积从小到大分为“”，“”和“”，将其面积作为分数。当所有“省份”领土卡被买完或其他至少三种卡被买完后，游戏结束，统计所有在手牌，弃牌堆，牌组的领土卡，拥有领土面积最大的玩家获胜。

不同的玩家不同的要求

由于货币卡组和领土卡组都是固定的，所以我们重点研究的乃是行动卡组。不同的行动卡组，会让游戏玩法千差万别。那么肯定有些卡组相对于其它的来说，更能满足玩家的各种刁钻古怪的兴趣。

正如前面所提到的，我们的游戏不可能满足所有玩家，所以接下来我们假想出三种类型的玩家，设计三种满意度测量方式，尝试建立能满足特定种类的玩家的卡组。

基于分数差异的满意度

在玩这款游戏的时候，我们假设第一种玩家想要大获全胜，即以远超对手的分数胜利。第二种玩家觉得能险胜，即以小分数差取得胜利，才能嘲讽对手，才有味儿。

我们想要找满足这些要求的行动卡组。能分别达成这两个目标的卡组，应该包含哪些卡呢？张三大声嚷嚷要有这几张，李四理直气壮说要有那几张，面红耳赤争论了半天，最后才发现张三玩的是《昆特牌》，李四说的是《斗地主》。

空口无凭，实践才是检验真理的唯一标准。不过为了假装这个实验很厉害，我们特定准备了一些满意度公式。用来检验特定行动卡组的满意度。如果你还没有直面这个数学公式的勇气，那么请直接跳过吧。

其中h(i)是获胜者在一局中的分数，l(i)是失败者在一局中的分数。N为每种卡组所比赛的局数。在我们这个实验中N为1000。公式意思即两人之间的分数差，比上胜利者的分数，在每场游戏中的平均值。这个值介于[0,1]，越高说明胜利者和失败者的分数差越大，更能让第一种玩家胜利后得瑟：“没办法，实力不允许吖”。

不过要是对于那些希望险胜的玩家呢？我们又设计了第二种测量满意度的函数：1-fs。意思即为失败者的分数，除以胜利者的分数。这个值介于[0,1]，越高，说明两者分数越接近，越能让第二种玩家胜利后兴奋：“差一点就输了，真刺激！”。

基于决定性时刻的满意度

第三种玩家偏喜欢那些有各种不确定性，鹿死谁手要到最后一刻才能揭晓的游戏。要是胜负能早早决定的话，那还不如回家洗洗睡。

嗯，没办法，人类就是这样。例如龟兔赛跑，如果兔子不去睡觉，而是径直冲向终点的话，那么这个故事第三种玩家肯定不喜欢看，说不定还会特意准备一棒槌，在半路把兔子打晕，看它能不能在乌龟获胜之前醒过来。

我们还是想要找出满足这个要求的卡组。我们把张三李四的口用胶布封了起来，扔到小黑屋里，然后来继续分析。

优势变更：当游戏的主导权从一方变到另一方时。例如龟兔赛跑中，当乌龟越过真正睡觉兔子的那一刹那，优势就变更了。

决定性时刻：当某个行动能让对手彻底失去胜利机会的时候。当乌龟到达离终点线某个距离时，兔子就算立马起来，使出吃奶的力气奔跑，也没法取胜了。

为了测量决定性时刻f(d)，我们又提出一个数学公式。

t1是最后一次优势变更的回合数，而T是总回合数。

满意度

优势变更和决定性时刻一起用来测量满意度的方法，已经在其它回合制策略游戏中被证明是很有效的了。在这里，我们使用下面这个公式作为第三种满意度测量方法。L为优势变更的次数。

据说一篇文章每增加一个数学公式就会损失一半的读者。那么对于这些八里挑一，敢于注视这些数学公式而幸存到这里的读者，真要好好鼓励一番。

电脑玩家设计

我们拜访了三位电脑君主，他们使用不同的战术，代表不同战术的人类玩家。我们唆使他们多多发动战争，好让我们统计数据。他们的黎民百姓疾苦，我们也管不了了。

第一位君主名叫 “Earl”，这位君主行动阶段时，首先选择能增强自己的卡，然后是增加额外行动点以及能影响对方的卡。然后再随机使用剩下的行动卡。游戏开始时会为每个卡设定一个购买优先级，购买阶段而依据优先级去购买。

第二位君主名叫“Drew”，这位君主行动阶段时，首先选择能增加额外行动点的卡，然后是能影响别的卡的效果的卡。然后再随机使用剩下的行动卡。游戏开始时会选定一些卡为“有价值的卡”，购买首先购买它们，如果没有的话就随机购买。

第三位君主名叫“F-N”，这位君主会根据当前游戏状态，以及手上的牌，双方的牌的效果，双方分数差以及很多因素综合考虑自己该怎样使用行动卡以及购买。但是由于计算机性能限制，只能计算出当前回合最好的战略，而不是这场游戏的整体战略。

本来还有第四位君主，他依据的是随机，啥事都靠随机。结果战绩惨不忍睹，我们只好给他路费，打发他回家了。不过这样证明了，在这款游戏中，靠随机是无法取胜的，必须要有技术。

对战结果

我们首先想确认这几位君主的水平确实不同，而不是意识到我们在操控他们后，逢场作戏，宣而不战。我们先进行了一次预实验，让两两之间进行了50000场游戏，每场的行动卡组都不相同。

表1

上图中，右边两列数左列表示前者的胜利场数，右列表示后者的胜利场数，平局算他们都胜利。不同的胜率表明他们确实使用了不同的战术，我们的傀儡操控确实有效。

不对，这种尔虞我诈的战场必须提高警惕。之前我们只是试探而已，万一他们也知道我们是试探而故意不暴露呢？在我们正式的三个实验中，我们又增加了很多预防措施。

我们使用遗传算法来尝试找出那些有趣的卡组。三个实验分别使用三个不同的满意度函数作为依据。

<First>为第一次实验的满意度，<Last>为经过30代后的最大满意度。为了预防误差，我们又增加三列数据，σ为标准平方差，而p为双边Student’s t-test。看不懂没关系，总之电脑君主一旦出现什么预料之外的偏差，都能被我们及时发现。嗯，它们永无翻身之日了！

在第三个实验尝试最大化第三种满意度函数的时候，为了防止能在最开始就能预测出结果，我们让这些君主自己打自己，即Drew vs. Drew之类的。

上图为表二。从表2来看，似乎第二种满意度最大，我们的游戏更能让第二种玩家感到满意。我们是不是该请第二种满意度函数吃顿饭呢？别急，接下来，我们会尝试找出，三种满意度最大的行动卡组中，应该包含哪些卡。

分析

我们的预实验证明了依靠特定战术取胜的方法不具备传导性。Drew和Eral平分秋色，Drew能碾压F-N，Eral却被F-N虐得死去活来。这些君主没法只靠一种战术就毫无悬念打败其他人，嗯，这下这些电脑君主或人类玩家可有的玩了，他们必定会陷入连年混战，乐此不疲。

接下来是三个正式实验。我们尝试找出我们能满足哪些特定玩家，并找出这些玩家会喜欢的卡牌。

上图为表3，不同满意度测量方式下，满意度最大的行动卡组每张卡的名称，以及满意度。

第一个实验中，我们尝试最大化fs，即最大化分数差异来增加满意度。实验效果不咋地。在表3的a中，我们仅找到了1张出现了3次的卡，以及3张出现了2次的卡，而对局满意度也都在0.6左右，即不太容易找到满足第一种玩家要求的卡。第一种玩家：怪我咯？

第二个实验中，我们尝试最大化（1-fs），即最小化分数差异来增加满意度。满意度非常接近1了（注：表中的满意度应该是四舍五入后为1.0）。看来第二种满意度确实最有前途，我们的游戏能让第二种玩家感到非常满意。

我们也很快就找到了我们寻找的那些卡片，在表3的b中，有2张卡出现了3次，5张卡出现了2次。这些行动卡，都是符合第二种玩家胃口的行动卡。假如你也是第二种玩家的话，那啥也别说了，赶紧买买买吧。

第三个实验中，我们尝试最大化 f ，但得到了相当不稳定的结果。我们没能找到在三种对局中都出现的卡。并且对于这三种自己打自己的内战来说，满意度也非常不同。我们的游戏不太适合第三种玩家，他们虽不至于经历人生的大起大落，但也只好真的回家洗洗睡了。

总结

在这个实验里，我们测试了在这款游戏里，哪些行动卡组能让不同玩家满意。当我们设计卡牌游戏时，我们无法同时满足所有人的要求，但可以针对一类特定的玩家，依照上面的方法，改进卡组设计，尽可能让他们感到有趣。

但我们认为，这种方法在设计其它类型游戏时也很有用。我们可以把每张卡当成其它游戏里不同的机制或规则，然后尝试找到那些能让游戏更加有趣平衡的机制或规则。例如，超级马里奥**中，主角有很多移动机制，可以奔跑，跳跃，跳墙，射击…我们可以找出那些能让特定类型玩家喜欢游戏机制和规则，再继续改进，从而牢牢吸引住他们。

参考

[1] Tobias Mahlmann, Julian Togelius and Georgios N. Yannakakis (2012). Evolving Card Sets Towards Balancing Dominion .WCCI 2012 IEEE World Congress on Computational Intelligence Evolving Card Sets Towards Balancing Dominion