撰写了文章 发布于 2019-03-03 15:42:02
FGO国服蛋池系统简析
最初发表于我的个人博客 稀奇古怪研究室 原博客不再更新
Posted on 2018-01-31
FGO作为国内充值表现相当好的一款二次元手游，用户在其中进行付费的主要动力就是在蛋池中抽取奖品。
用户之所以愿意在游戏中进行大额充值，除了游戏自身的品质和蛋池奖品自身的吸引力，也离不开蛋池本身良好的设计和完善的机制。因此本文会尝试从系统设计和保底原理两个角度对FGO国服的现有蛋池系统进行分析，为今后工作中设计类似抽奖系统提供设计灵感和经验。
蛋池系统
蛋池，故名思议，就是消耗蛋池代币进行抽奖的系统。由于ZC原因，国内的蛋池系统多设计为购买道具赠送抽奖机会的机制（如FGO中设计为购买QP赠送抽奖机会），但原理还是付费奖池抽奖。
本部分主要讨论蛋池系统的基础设计。
UP机制
本文中提到的UP，即概率提升的奖品。每个奖池中都会有主打奖品，即概率略高于同级别奖品的特殊奖品，简称为UP。
蛋池种类
- 剧情池
必出3星以上稀有度从者或礼装，抽取1次消耗3圣晶石或1呼符
常时开放，奖池内容随玩家剧情进度进展而扩展，配合新主线剧情实装搭配相应UP
作用：常驻卡池，使玩家始终有奖可抽
- 限时池
必出3星以上稀有度从者或礼装，抽取1次消耗3圣晶石或1呼符
限时开放，在剧情奖池基础上，添加高厨力从者、强力从者和不进入剧情池的稀有从者，是骗氪重点，大部分充值高峰均来源于此。
> 图1注：日服iOS+安卓氪金量（根据榜单信息模型测算，数据来源Priordata，图片来源NGA-FGO版）
由于国服未来视（国服与日服游戏内容及运营节奏基本相同）的存在，国服玩家基本可预知接下来的卡池分布，故整体分布较日服更加极端。
> 图2注：国服iOS+安卓氪金量（根据榜单信息模型测算，数据来源Priordata，图片来源NGA-FGO版）
作用：配合剧情、运营节奏，延长用户培养周期，游戏生命周期
- 友情池
常时开放，必出1星至3星稀有度从者或礼装，抽取1次消耗20友情点
常时开放，含有友情池独占奖品（即付费池中也无法抽到的物品），平时主要用于换取经验狗粮和绿方块
作用：友情点唯一消耗途径，享受单纯的抽卡乐趣
- 福袋池
限时开放，通常出现在特殊重大事件，如周年、新年
在剧情奖池基础上，保底机制替换为：十连必定保底限定列表中五星从者一名
只能抽取一次，必须抽取十连，必须使用付费石头
作用：发福利，培养付费习惯
蛋池设计
蛋池主题
每个蛋池均具有主题，每个主题持续7天或更长：
主题分为如下几类：
剧情类：开放新剧情关卡后，开放与剧情关卡主题相关的蛋池
活动联动类：开放新活动后，开放与活动相关的蛋池，其中含有活动加成礼装可以提高活动过程中的收益
联动类：旗下IP有重大活动时开放与联动内容相关的蛋池
复刻类：对于高人气（充值表现好）且不常驻剧情池的英灵开放的复刻蛋池
节日类：庆祝特定节日、事件开放的蛋池
蛋池内容
每个主题蛋池中含有若干组UP内容，内容可归纳为：
- 活动限定从者：仅可通过特定蛋池获得
- 剧情限定从者：仅可通过剧情池获得
- 非活动限定礼装：仅可通过特定蛋池获得的通用礼装
- 非限定从者：可通过所有蛋池获得的从者
- 活动限定礼装：仅可通过特定蛋池获得的活动用礼装，可增加活动收益
每个主题蛋池期间，若有多组UP内容，则在保持蛋池主题不变的前提下定期更新蛋池内容。
保底原理
本部分主要对FGO国服保底原理进行分析。
由于官方从未公布过具体保底机制设计，故以下内容均仅供参考分析用，不作为任何事实依据。
基本数据
首先列出官方公示的扭蛋出率：
然后从NGA坛友默默语的拉二池分服务器抽卡情况统计中可归纳出：
- 总UP率无论是5星还是4星都占同级别从者的70%
- 同一级别多个UP从者时平均分配UP率
然后是保底机制，官方描述为：十连保底一张四星稀有度以上卡（从者或礼装）和三星以上从者
进一步明确：
- 仅十连有保底，连续单抽十次无保底（即只可使用圣晶石）
- 十连保底内容为两项，一是一张四星以上稀有度卡（从者或礼装）,二是一张三星以上稀有度的从者
保底模式
为了方便后续讨论，做如下定义：
标准奖池：标准奖池，即蛋池介绍界面注明的基础奖池
四星保底池：涵盖了所有四星及以上稀有度卡牌（从者、礼装均计入）
从者保底池：涵盖了所有从者（三星至五星）卡牌的奖池
保底条件A：奖品中包含一张四星以上稀有度卡（从者或礼装）
保底条件B：奖品中包含一张三星以上稀有度的从者
按照官方给出的保底机制描述，定义三种保底机制设计模式如下：
预先理性处理模式
- 从四星保底池中抽取1个保底物A
- 从从者保底池中抽取1个保底物B
- 在基础奖池中完成10次随机抽取,得到Si(i=1,2…10)
- 若不满足保底条件A，随机选取一个奖品被保底物A替代
- 若不满足保底条件B，随机选取一个价值最低的奖品被保底物B替代
- 完成10连抽取保底处理
预先盲处理模式
- 从四星保底池中抽取1个保底物A
- 从从者保底池中抽取1个保底物B
- 在基础奖池中完成10次随机抽取,得到Si(i=1,2…10)
- 若不满足保底条件A，随机选取一个奖品被保底物A替代
- 若不满足保底条件B，随机选取一个非保底物A的奖品被保底物B替代
- 完成10连抽取保底处理
后处理模式
较繁琐，直接上图
为了避免用户体感到保底机制的具体实现，可在全部抽奖机会产生后进行一次重排。
保底机制对概率的影响
以下分析参考了月坂雪绪 发表于NGA的 以十连保底金卡为例从经典二项分布模型上讨论所谓“保底机制”对实际概率的影响。由于其模型未考虑保底三星从者的情形，在其基础上进行了补正。
官方从未公布过其保底机制的细则，为了分析方便起见，假设游戏采用的是模式2（预先盲处理模式）：
容易证明，预先盲处理模式与后处理模式在概率学上是等价的，过程不再赘述。
tips:后处理模式实际只是预先盲处理模式结果中的一个次序重排的子集
伯努利大数定律已证明，在多次相同的条件的重复试验中，频率有越接近一稳定值的趋势，当实验次数足够大时可用事件发生的频率来代替事件的概率。大样本下的抽卡抽出五星级从者这一事件符合经典二项分布，故在经典概率模型下对保底模式下的抽卡事件做出如下假设：
假设基础
假设1：每次抽卡都是独立事件。在每次实验中，“抽出五星从者”事件的发生概率均为1%。“抽出当期单UP五星从者”这一事件的发生概率均为0.7%。
假设2-1：参考“预先处理模式”描述
假设2-2：参考“预先盲处理模式”描述
假设2-3：参考“后处理模式”描述
假设3：保底的出现不会影响其他实验的结果。保底位中各星级卡片的分布比例与标准池中分布相同。
计算
考虑用户目标是抽取池中的单UP五星从者的情形：
设一次十连，在没有保底的情况下，获得SSR从者数目的期望为E。
【无保底的情形】
根据伯努利大数定律无保底的情形，有：E=10×0.7%=0.07
同时，E的概率学表现形式有E=Σ(n×P(n))，n=0-10，P(n)为十连出现n张SSR从者的概率。
后续讨论方便起见，将后一项做一个拆分，分为“十连没有金卡”和“十连有金卡”两种情况。如果十连没有金卡，五星UP从者出现次数显然为0，所以我们有：
E(十连没保底抽出UPSSR从者)=Σ(n×P(n且十连有金卡))+0×P(十连没金卡)=0.07
得到Σ(n×P(n且十连有单UPSSR从者))=0.07
【考虑保底的情形】
E(十连有保底抽出单UPSSR从者)
=Σ(n×P(n且十连有金卡有从者下抽到单UPSSR) + 保底机制收益
=Σ(n×P(n且十连有金卡有从者)
+P(十连有金卡无从者)×(4/56)
+P(十连无金卡有从者)×(1/20)
+P(十连无金卡无从者)×(1/20+4/56)
其中
P(十连有金卡无从者)=(1-0.8^10)×(0.56^10)
P(十连无金卡有从者)=(0.8^10)×(1-0.56^10)
P(十连无金卡无从者)=(0.8^10)×(0.56^10)
得到
E(十连有保底抽出单UPSSR从者)
=0.07
+(1-0.8^10)×(0.56^10)×(4/56)
+(0.8^10)×(1-0.56^10)×(1/20)
+(0.8^10)×(0.56^10)×(1/20+4/56)
=0.075585356
【引入保底机制后的收益】
delta E=E(十连有保底抽出单UPSSR从者)-E(十连没保底抽出UPSSR从者)=0.005585356（个）
相当于每抽奖一千次，保底机制带来的额外期望收益等同于多抽出5个当期单UP SSR从者
对应的实际SSR出率为 0.755%
即保底机制带来的SSR出率增益为 0.055%
保底机制对行为的影响
FGO中实行的十连保底是严格十连保底，即用户不能通过单抽十次来触发保底机制。但在其他一些游戏的扭蛋中，存在相对宽松的十连保底，即用户可以通过单抽10次来触发保底。十连抽在这类游戏中存在的意义就是更快的消耗扭蛋券。
这种保底机制看似提升了用户抽奖的整体出率，但由于存在凑保底的情形，实际上增加了用户付费的场景和动力。设想以下场景:
用户A充值意愿弱，某期池子中有他想要的奖，他攒下的代币可以支持他完成18次抽奖机会，那么他就有可能为了凑保底到20次进行充值。
除此之外，在宽松十连保底模式下，通过单抽触发保底是存在有效期的。这个有效期通常按池子划分，即各个池子之间的单抽保底次数是彼此独立计算的。保底有效期的存在，进一步给玩家施加压力，要求其在一个蛋池周期内投入更多的资源，凑更多的保底以获得想要的奖品。
总结
本文简要分析了FGO游戏中的蛋池抽奖系统，并对国服蛋池保底机制进行了猜想和分析。
保底机制在大样本中对于提高中奖几率的数学贡献并不大。按照“后处理模式”，保底机制带来的SSR出率仅相对增长7.8%，绝对增长 0.055%。其意义主要在于保障用户氪金小周期的收益相对稳定，对游戏的长线蛋池出货情况影响没有想象中的大。
当然，本文中的讨论都是基于完全理想情况下的一种简单的保底设计。实际游戏中保底机制还有很多其他的设计方式，有更多隐藏的机制保障各方的利益。尽管不同的保底机制在玩家看来保底的表现都是一样的，但背后进行的抽取过程可能各有不同，恐怕这也是设计的一种魅力所在吧（笑）