【弹幕程序科普计划】 第12.5篇 关于正交圆判定的分析

【关于正交圆判定的分析】

　　上一次文章介绍了stg中常用的判定形状。其中，东方STG从TH11《东方地灵殿》开始采用的正交圆判定非常独特。本文就来分析一下正交圆判定所引出的一些问题。之所以将本文的编号写成了“点五”，是因为我觉得正交圆这个判定方法几乎没什么用处，除了我们的神主以外，应该没人会使用这个判定方法吧。。。

　　本文大量数据参考自 http://thwiki.cc/游戏攻略/STG判定数据

　　首先还是先看一下判定公式和形状，并和传统圆形判定做一个对比。

这里将D认为是两物体的临界判定距离，实际距离小于D时则相交，大于D则相离

传统圆形判定公式：

D^2=(r1+r2)^2或D=r1+r2

正交圆判定公式：

D^2=R1^2+R2^2

这两者的几何意义如下图所示，传统圆形判定临界状态是两圆相切，而正交圆判定的临界状态是两圆正交。

试想一下，假设自机与一个中玉判定

同样要达到这个判定效果，如果用传统圆形判定，按自机半径2，中玉半径5，则临界距离D=7

如果按正交圆判定，可以按自己半径2，中玉判定6.71，从而获得完全相同的效果。

　　如果使用正交圆判定代替圆形判定，对于自机判定半径一定的情况下，可以通过设定子弹的判定半径，来达到和圆形判定完全等效的结果。判定形状依然是圆形，只不过是半径数值比传统圆形大一些而已。

　　通过以上分析，正交圆和传统圆形判定是否可以完全等效呢？我认为事情并没有这么简单，因为自机的判定半径并不是不变的，众所周知，魔理**较胖，灵梦比较瘦，各自机判定半径数值不相等，而子弹的判定半径不会针对各个自机专门设定数值。那么这意味着什么，且看下面的分析。

　　以下需要用一下高等数学的知识，还没上大学的小伙伴也不用担心看不懂，过程不重要，后面会解释其结果的意义。

拿出上述判定公式

对于圆形

D^2=(r1+r2)^2或D=r1+r2

将其视为D关于r1、r2的函数，对r1求偏导

∂D/∂r1=1

很显然，临界距离D和中间任何一个r都是线性关系。

对于正交圆

D^2=R1^2+R2^2

对R1求偏导

以下我懒得输公式，就直接贴手写版了

这个结果首先说明，D和R1不是线性关系。

同时，当R2越大，D随R1的变化率就越小，R2越小，D随R1的变化率就越大。极端情况，当R2=0时，∂D/ ∂R1=1，这种情况下D与R1等比增长。其实想想也知道，此时D=R1

当R2->∞时，∂D/ ∂R1->0，因为此时R1几乎与D垂直，D不随R1变化而变化。

同时，还是对于D和R1的偏导数情况，当R2恒定时，可以看出R1较小时，D随R1的变化率较小，当R1较大时，D随R1的变化率较大。

其实从几何上更好理解

R1越大，R1与D的夹角θ越小，D随R1的变化率就大

类似的

R1越小，θ越大，D随R1的变化率就小；

R2越大，θ越大，D随R1的变化率就小；

R2越小，θ越小，D随R1的变化率就大

　　以上就是关于正交圆判定性质的分析，不管怎样，其实推导过程什么的不重要，关键是以上结论会带来什么实际影响。

　　这个问题可以从这个角度考虑，子弹的判定半径一般是不变的，小玉、中玉、大玉的半径是不会在游戏中发生改变的，除了辉针城里有一些小锤引起的子弹缩放，其余时间子弹该多大就多大。但是自机却不同，虽然都是自机，却有灵梦和魔理沙的区别，因此自机判定半径会有不同的数值。

　　那么代入到上述求偏导的公式中，将R1看作自机判定半径，而R2是子弹判定半径。当自机从灵梦换成魔理沙时，临界判定距离D会变化ΔD，这个ΔD也就是我们玩游戏时所感觉到的判定点大小差异。由之前偏导数的性质可以知道，当子弹半径R2越大时，ΔD越小，当R2越小时，ΔD越大。

举例来说，灵梦判定半径2，魔理沙判定半径3(正交圆判定中的半径)

米弹判定半径2

则灵梦对米弹判定的临界距离Dr = √(2^2+2^2)=2.83

魔理沙对米弹判定的临界距离Dm = √(3^2+2^2)=3.61

此时ΔD=Dm-Dr=3.61-2.83=0.78

大玉判定半径14

灵梦对大玉判定的临界距离Dr = √(2^2+14^2)=14.14

魔理沙大玉判定的临界距离Dm = √(3^2+14^2)=14.32

此时ΔD= Dm-Dr=14.32-14.14=0.18

可以看到，魔理沙和灵梦的判定大小差异，在面对大玉时并不明显，而面对米弹时非常明显。

再来看一下辉针城中子弹放大的情况。

此时自机判定不变，子弹变化。将自机半径看作R2，子弹半径看作R1，此时ΔD表示子弹放大后引起的判定临界距离变化。由先前的结论可以知道，R2越大，ΔD越小。也就是说，放大的子弹对魔理沙来说应该稍显友好。

具体计算一下看看。经过图片测量，上图中玉大约放大了3倍，按照中玉本身半径为8.5，放大3倍为25.5

对灵梦而言

放大前D1 = √(2^2+8.5^2) = 8.73

放大后D2 = √(2^2+25.5^2) = 25.58

ΔD=D2-D1=25.58-8.73=16.85

对魔理沙而言

放大前D1 = √(3^2+8.5^2) = 9.01

放大后D2 = √(3^2+25.5^2) = 25.67

ΔD= D2-D1=25.67-9.01=16.66

可以看到，子弹放大对魔理沙产生的影响比灵梦小，放大子弹会缩小魔理沙和灵梦的差距。换个角度想，其实也就是在面对大子弹时，魔理沙和灵梦的判定差异会变得不明显。其中放大后灵梦的25.58对魔理沙25.67，相差0.1都不到，两者判定大小差异几乎可以忽略了。

那么今天的科普差不多就到这里，我们得到了两个重要的结论

1.魔理沙在面对小子弹的时候更显得胖

2.没事不要用正交圆判定！